2020年04月09日

高校数学で四苦八苦してアーーソブの巻

まき というと・・・・カルメン・マキを連想した。略

円の面積を積分で求める場合。半径をrとする。円周は2πr である。この円周を微小な太さを持って考える。グルリンコの円周を直線に伸ばしてみる。長さが 2πr である。幅を drとする。
すると、この微小な長方形の面積は ds = 2πr dr である。長さ✕幅ですね。
これを 0 から rまで積分する
∫2πr dr = πr^2 が出る。オメデトー!!  

しかし、これを簡単に納得するのかしないかは人による。予は簡単に納得するも何も・・・丸暗記した次第である。なんとなく合っている気がしたし。
ところが、考えると妙だ。以下、なんで妙かを述べる。

2πr は円周だ。それに幅をもたせた。よろしいか。その場合には外側の円周が内側の円周よりも少しだけ微妙に長くなる。この外側の円周が内側の円周よりも微妙に長い事を考慮せずに微小面積として
2πr ✕ dr とするのは 麻呂は何かインチキしているのではないかと勘ぐる次第である。
円周の外側が内側より長いのに、この微小面積はそれを考慮していない。
ハイ、せんせい、疑問があります、・・・・・ と当時、勇気を持って質問すればよかったなあ・・・・・・・テキトー

というわけで、どうして上の計算が正しいのか。円周の外側が内側よりも微妙に長いのに微小部分の面積を 2πr ✕ dr としてよいのはなんでだろ、はい、なんでだろー、以下100回。

じつは、ここに積分の本質、真骨頂があるのですね。ま~数式書いて説明するのがいいのだが、面倒なのでやらん。
ただ、簡単に言うと線幅をdrとしている。キーはそこだ。これを線幅⊿rとすると積分ではなくなって加算になる。∑の世界に成る。その場合に面積を正しく求めるには⊿rをなるべく小さくする事である。
さらにヒントだ。
(n + 1 ) / n を考える。n –>∞の場合にはこれは 1になる。n を有限な値にすると、どんなに大きな値でも1と等しくはならない。
n が1億としよう。( 1億 + 1 )/ 1億 ≠ 1 である。つまり、1 ではない。
ところがn –> ∞ の場合には 1 になるのである。
積分とか微分とかは、この無限大とか無限小とかの登場によって生徒は面食らうかも知れないなあ。まー、想像とか妄想とかの類ですわ、テキトー。

ワテの妄想を紹介する。
1 / 無限小 = 無限大 よって 無限小✕無限大 = 1
    無限小/無限小 = 1 ,  無限大/無限大 = 1 
無限大 + 無限大 = 無限大 , 無限大 - 無限大 = 無限大、 無限小 - 無限小 = 無限小
100✕無限小 = 無限小、 ・・・・・
妄想は楽しいである。なむぅ・・・・

posted by toinohni at 10:38
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