2020年10月14日

一次元シュレディンガー方程式をカシオ計算サイトでトライしたのですねぇ

y'' = ( x^2 - E )* y   という2階微分方程式、シュレディンガー方程式を一次元だけにして、いろいろと変数変換して無次元にするとこうなる。この階は解析的にわかっていて、E = 3.5.7...が階になる。いや、階の中で固有値Eの値を求める。
カシオ計算サイトで4次ルンゲクッタ法が提供されていたので試した。数値解を求めるのである。

https://keisan.casio.jp/exec/system/1548123555
image

結果のグラフも出せる。E = 5 のとき
chart

  E を7にすると 山が増える。
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E = 11のとき もっと増える。
https://keisan.casio.jp/keisan/lib/virtual/tmp/105531396720.png

これの絶対値のグラフは量子力学の入門書でもよく出てくる。波動関数の絶対値の2乗が存在確率を表す・・・などと関連する。

で、この4次R-K法で上の微分方程式の数値解を求めると実は右側で発散するのである。初期値は左端にしている。左端から計算を始める。E = 5 の場合に、-5 x < 5で計算すると、
chart

   E = 5 が固有値であれば右側遠方では粒子の存在確率は0なのでグラフは0に収束しなければならないのだが、グラフは一度収束してからその後に急上昇している。発散だ。一度収束しているのでE = 5が固有値である、となるのだが、右側の発散は4次R-K法というアルゴリズムで上の微分方程式を計算すると出てくる。

同じ方程式をC言語で計算した場合、wxMaximaのrk()関数を使った場合、Python + Scipyのodeint()を使った場合、同じように発散した。

では、4次R-K法を改善したアルゴリズムならば発散しないのか・・・・興味あるところだが試してはいない。wxMaximaのrk()関数は4次R-Kであるとどっかに書いてあったがScipy odeint()はそうではない可能性がある。改善したものかもしれない。だが、発散したので同じようなものだろう。
てなわけで4次R-K法でワイは用は足りるのだが、まあこういう現象もあるものだと思っていればいいとしておく。つーか、他に計算しないもん(笑)

posted by toinohni at 10:08| 東京 ☁| Comment(0) | 物理科学雑学 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
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