∑(1/n)は収束しない、発散する。だが∑(1/2^n)は 1 に収束する。(1/n)も(1/2^n)もn->∞で0になるのにさ~。ここら何でだろう。証明を見ると、ああそうなんだねえ、なのだがワタクシとしてはスッキリしない。
もう一つスッキリしない例。log(x)はx –> ∞で発散する。対数なのでゆったりとして増加する。
だがlog(x)を微分すると 1/x である。x –> ∞では 1/x = 0 であるつまり、グラフでの傾きは 0 になる。傾きが 0 という事は水平だ。よってに増分がない。増分がないのであれば収束していると言えるのではないか。だが収束しない。
wxMaxima たまには使うぜ。
それ、wxMaxima使わないでもちょちょんのちょんだけど(笑)
それもwxMaxima使わないでもチョチョンのチョンだけど(笑)
x = 50000 までだと緩やかな増加が見られる。それは納得。では、x = 10億ぐらいではどうなるか、だなあ。
x = 50億ですね。だいぶ水平に近づいてきたですね。
うむ。log(x)は x が大きくなれば当然大きくなる。なので増加する。ここで傾きが0に近づくと考えたが、どのぐらいで0に近づくのか。x = 10^300でやってみよう。doubleでの最大が確か、10^308ぐらいだったからね。
このグラフでは水平に見えるが実際は水平ではないわけだ。縦の変化が1でも横の変化は10^300ぐらいであれば 0 に近いとは言っても 0 ではないわな。
log(x)は x –>∞で発散する。しかし、微分すると 1/x になる。x –> 無限大で 0 になるから傾きは0になって増加分はなくなるはず・・・・・と考えたが、10^300ぐらいでは傾きは 0 にならないのだった。
傾きは 0 に近づいても 0 ではないので微量な増加分はあるって事か。
log(x)だけ考えると x –>∞で発散するのは直観!!
てな感じ。抽象的な思考が得意でないワタクシは数字を見ないと想像もできんのである。どーや。
高校数学レベルの数列の和であっても、実際にどのような度合いで収束するのか、発散するのかをグラフで視覚的イメージで捉えると面白い。ついでにコンピュータ言語のdoubleの数値範囲も知ることになる。
ちなみに上のグラフの場合、wxMaximaは1,2秒で描画した。これは愚直に地道に1から+1を繰り返して10^300まで計算したのではない、と想像できる。それやってたら日が暮れるで。
横軸を数点で計算してグラフ表示していると思われるのですねえ。
いやー、何かやるといろいろと分かってきたり、不具合に出会ったりしますねえ。いいのだよ、それこそが生きているという事だ!!
何もなくて退屈だあ・・・・というのは、何もやってないという事の証なのであるぞの。
どーや。最近、屁理屈が好きで(笑) 屁理屈の極限が数学、哲学だと認識している次第である。極限までは遠いで。。。 目指しているわけでもないけどさー。ちゅんちゅん。
ちがーーう、それは台湾プロ野球の・・・ ちゃんちゃん。
posted by toinohni at 17:51| 東京 ☔|
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