フーリエ級数、フーリエ変換の学習の基本は三角関数なんである。知ってラーという人はともかく、知った気分だが実は理解は浅いとかのワタクシのような凡庸でIQ88の知能だとしつこく地道に勉学に励むしか理解をすすめる道はないのである。一を知ると十を知る、というちょ~便利な頭脳の人はライバルではないのである。そういう人と一緒に仕事をする事はないのである。わっはっは
先ずは三角関数のsin()の積分から。∫sinθ dθ = [-cosθ] = 0 0 <= θ <= 2π
これを視覚化によって直観で理解するには次のような図を見れば一目瞭然である。
と言いたいところだが、sin(x )・sin(2x)の場合のグラフを出す次第であるのよ
sin(x )・sin(2x ) は緑の線。周期2πでの積分…単純に周期平均するとゼロになるのは正の部分と負の部分とが面積同じだと直観でわかる。周期平均というアイデアが実はとんでもない飛躍をもたらすのである。たぶん。
この連続的なグラフは直観で理解するにはいい。三角関数の公式を使って計算スレばゼロになる。周期積分の話。
では、これをコンピュータで計算するにはどうするか。周期を10分割、100分割…・適当な分割をして左から順番に計算して足していけばいい。∑は究極で∫になる。たぶん。適当に分割するというのは離散化すると言う、適当というのは日常でいいかげんなと言う意味のテキトーではない。適切という意味であるぞなもし。
だが、実は昔から離散化した場合、筆算で計算したことはない。上の連続量の世界では計算手順はない。三角関数の公式使って代入するだけだ。
だが、離散化した場合には計算の順序が発生する。つまり、この計算手順の順序はどのように計算するか。
上の場合には一瞬だ。計算の順序はない。離散化した場合にはデータ数をこなす手順が発生する。
ここだ。ここを自分で計算したことがないから、未だに納得した気分がないのだひでき。
というわけでPython、Excelとかでトライの。
EXECEL 1Hzを20分割してテストした次第でアリゾナ。
sin(1Hz)・sin(2Hz)の結果はちょっと波が増えた。再掲する。
グラフの波形で正と負の領域の面積が等しいというのは一目瞭然だけどね。計算は左から始める。計算して足して次の点を計算して足して…・繰り返す。それが周期積分になる。ここだよ、この感覚。図では20点のデータだが、それ20回の計算をして全部足すとゼロになる。この関係は積分の数式では一瞬だが離散化の場合には手順が発生する。
昔から、ここらがいまいち理解が浅かった気がする。
ついでに途中の計算結果を示す。EXCELの表だが。
数学の三角関数の公式使って周期積分するとゼロになる = 一点ごとに計算値を足していくとゼロになる。
一点ごとに計算すると瞬時値が出る。それを足していく。一周期でゼロになる。
瞬時値はゼロではない。だが、周期合算ではゼロになる。この周期ではゼロになるというのがフーリエ級数、フーリエ積分の味噌というか、なんというか。そこから関数の直交性とか数学的な話にも興味が広がるかもね。
以上の事柄を教科書で読んで直ぐに納得した、あなた!! オレのIQ88よりはるかにできが良い、ちょ~高性能頭脳でっせ。